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数学是一种思维不是加减乘除读思考的乐趣Matrix67数学笔记

发布时间:2020-07-21 10:28:31 阅读: 来源:内燃机厂家

一个学习中文应用语言学的数学geek的博客:

我本不想写这个序。因为知道多数人看书不爱看序言。特别是像本书这样有趣的书,看了目录就被吊起了胃口,性急的读者肯定会直奔那最吸引眼球的章节,哪还有耐心看你的序言?

话虽如此,我还是答应了作者,同意写这个序。一个中文系的青年学生如此喜欢数学,居然写起数学科普来,而且写得如此投入又如此精彩,使我无法拒绝。

书从日常生活说起,一开始就讲概率论教你如何说谎。接下来谈到失物、物价、健康、公平、密码还有中文分词,原来这么多问题都与数学有关!但有关的数学内容,理解起来好像并不是很容易。一个消费税的问题,又是图表曲线,又是均衡价格,立刻有了高深模样。说到最后,道理很浅显:向消费者收税,消费意愿减少,商人的利润也就减少;向商人收税,成本上涨,消费者也就要多出钱。数学就是这样,无论什么都能插进去说说,而且千方百计把事情说个明白,力求返璞归真。

如果你对生活中这些事无所谓,就从第二部分开始看吧。这里有“让你立刻爱上数学的8个算术游戏”。作者口气好大,区区5页文字,能让人立刻爱上数学?你看下去,就知道作者没有骗你。这些算术游戏做起来十分简单却又有趣,背后的奥秘又好像深不可测。8个游戏中有6个与数的十进制有关,这给了你思考的空间和当一回数学家的机会。不妨想想做做,换成二进制或八进制,这些游戏又会如何?如果这几个游戏勾起了探究数字奥秘的兴趣,那就接着往下看,后面是一大串折磨人的长期没有解决的数学之谜。问题说起来很浅显明白,学过算术就懂,可就是难以回答。到底有多难,谁也不知道。也许明天就有人想到了一个巧妙的解答,这个人可能就是你;也许一万年仍然是个悬案。

但是这一部分的主题不是数学之难,而是数学之美。这是数学文化中常说常新的话题,大家从各自不同的角度欣赏数学之美。陈省身出资两万设计出版了《数学之美》挂历,十二幅画中有一张是分形,是唯一在本书这一部分中出现的主题。这应了作者的说法:“讲数学之美,分形图形是不可不讲的。”喜爱分形图的读者不妨到网上搜索一下,在图片库里有丰富的彩色分形图。一边读着本书,一边欣赏神秘而惊人美丽的艺术作品,从理性和感性两方面享受思考和观察的乐趣吧。此外,书里还有不常见的信息,例如三角形居然有5000多颗心,我是第一次知道。看了这一部分,马上到网上看有关的网站,确实是开了眼界。

作者接下来介绍几何。几何内容太丰富了,作者着重讲了几何作图。从经典的尺规作图、有趣的单规作图,到疯狂的生锈圆规作图、意外有效的火柴棒作图,再到功能特强的折纸作图和现代化机械化的连杆作图,在几何世界里我们做了一次心旷神怡的旅游。 原来小时候玩过的折纸剪纸,都能够登上数学的大雅之堂了!最近看到《数学文化》月刊上有篇文章,说折纸技术可以用来解决有关太阳能飞船、轮胎、血管支架等工业设计中的许多实际问题,真是不可思议。

学习数学的过程中,会体验到三种感觉。

一种是思想解放的感觉。从小学里学习加减乘除开始,就不断地突破清规戒律。两个整数相除可能除不尽,引进分数就除尽了;两个数相减可能不够减,引进负数就能够相减了;负数不能开平方,引进虚数就开出来了。很多现象是不确定的,引进概率就有规律了。浏览本书过程中,心底常常升起数学无禁区的感觉。说谎问题,定价问题,语文句子分析问题,都可以成为数学问题;摆火柴棒,折纸,剪拼,皆可成为严谨的学术。好像在数学里没有什么问题不能讨论,在世界上没有什么事情不能提炼出数学。

一种是智慧和力量增长的感觉。小学里使人焦头烂额的四则应用题,一旦学会方程,做起来轻松愉快,摧枯拉朽地就解决了。曾经使许多饱学之士百思不解的曲线切线或面积计算问题,一旦学了微积分,即使让普通人做起来也是小菜一碟。有时仅仅读一个小时甚至十几分钟,就能感受到自己智慧和力量的增长。十几分钟之前还是一头雾水,十几分钟之后豁然开朗。读本书的第四部分时,这种智慧和力量增长的感觉特别明显。作者把精心选择的巧妙的数学证明,一个接一个地抛出来,让读者反复体验智慧和力量增长的感觉。这里有小题目也有大题目,不管是大题还是小题,解法常能令人拍案叫绝。在解答一个小问题之前作者说:“看了这个证明后,你一定会觉得自己笨死了。”能感到自己之前笨,当然是因为智慧增长了!

一种是心灵震撼的感觉。小时候读到棋盘格上放大米的数学故事,就感到震撼,原来264-1是这样大的数!在细细阅读本书第五部分时,读者可能一次一次地被数学思维的深远宏伟所震撼。一个看似简单的数字染色问题,推理中运用的数字远远超过佛经里的“恒河沙数”,以至于数字仅仅是数字而无实际意义!接下去,数学家考虑的“所有的命题”和“所有的算法”就不再是有穷个对象。而对于无穷多的对象,数学家依然从容地处理之,该是什么就是什么。自然数已经是无穷多了,有没有更大的无穷?开始总会觉得有理数更多。但错了,数学的推理很快证明,密密麻麻的有理数不过和自然数一样多。有理数都是整系数一次方程的根,也许加上整系数2次方程的根,整系数3次方程的根等等,也就是所谓代数数就会比自然数多了吧?这里有大量的无理数呢!结果又错了。代数数看似声势浩大,仍不过和自然数一样多。这时会想所有的无穷都一样多吧,但又错了。简单而巧妙的数学推理得到很多人至今不肯接受的结论:实数比自然数多!这是伟大的德国数学家康托的代表性成果。

说这个结论很多人至今不肯接受是有事实根据的。科学出版社去年出了一本书名为《统一无穷理论》,该书作者主张无穷只有一个,不赞成实数比自然数多,希望建立新的关于无穷的理论。他的努力受到一些研究数理哲学的学者的支持,可惜目前还不能自圆其说。我不知道有哪位数学家支持“统一无穷理论”,但反对“实数比自然数多”的数学家历史上是有过的。康托的老师克罗内克激烈地反对康托的理论,以致康托得了终身不愈的精神病。另一位大数学家布劳威尔发展了构造性数学,这种数学中不承认无穷集合,只承认可构造的数学对象。只承认构造性的证明而不承认排中律,也就不承认反证法。而康托证明“实数比自然数多”用的就是反证法。尽管绝大多数的数学家不肯放弃无穷集合概念,也不肯放弃排中律,但布劳威尔的构造性数学也被承认是一个数学分支,并在计算机科学中发挥重要作用。

平心而论,在现实世界确实没有无穷。既没有无穷大也没有无穷小。无穷大和无穷小都是人们智慧的创造物。有了无穷的概念,数学家能够更方便地解决或描述仅仅涉及有穷的问题。数学能够思考无穷,而且能够得出一系列令人信服的结论,这是人类精神的胜利。但是,对无穷的思考、描述和推理,归根结底只能通过语言和文字符号来进行。也就是说,我们关于无穷的思考,归根结底是有穷个符号排列组合所表达出来的规律。这样看,构造数学即使不承认无穷,也仍然能够研究有关无穷的文字符号,也就能够研究有关无穷的理论。因为有关无穷的理论表达为文字符号之后,也就成为有穷的可构造的对象了。

话说远了,回到本书。本书一大特色,是力图把道理说明白。作者总是用自己的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉,在关键之处还不忘给出饱含激情的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考。不少数学科普,甚至国外有些大家的作品,说到较为复杂深刻的数学成果,常常不肯花力气讲清楚其中的道理,可能认为讲了读者也不会看,是费力不讨好。本书讲了不少相当深刻的数学工作,其推理过程有时曲折迂回,作者总是不畏艰难,一板一眼地力图说清楚,认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使本书能够成为不少读者案头床边的常备读物,有空看看,常能有新的思考,有更深的理解和收获。

信笔写来,已经有好几页了。即使读者有兴趣看序言,也该去看书中更有趣的内容并开始思考了吧。就此打住。祝愿作者精益求精,根据读者反映和自己的思考发展不断丰富改进本书;更希望早日有新作问世。

张景中 中科院院士、《数学文化》期刊联合主编

2012年4月29日

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